1、第四章。微分學應用第四章。微分學應用對于變量取實數的函數，我們已經建立了導數與微分的概念，可以應用于研究實變量函數的局部性質。本章討論的就是如何應用這兩個概念來研究實變量函數的性質。函數的極值點和極值的概念。函數的極值點和極值的概念。從直觀的角度來理解這兩個概念，還是比較容易的，不過初學者容易把握不到要點的地方是這兩個概念完全是局部性質的概念，即只是在一點的附近，或者是在一點的某個領域內有效，而不管這個鄰域是多么的小。因此函數的極值點更

2、為嚴謹地說，應該是函數的局部極值點。仔細分析一下下面的定義：如果函數在某點的鄰域內都有定義，而函數在這個鄰域內所有點的函數值總是小于或等于函數在這點的函數值，那么這點就是函數在這個鄰域內的極大值點極大值點，函數在這點的函數值就是函數在這個鄰域內的極大值極大值；反過來，就分別稱為函數在這個鄰域內的極小值點極小值點和極小值。極小值?？梢郧宄乜吹剑瑯O值點和極值都只是對于一個鄰域而言的，任何時候不首先給出這極值點和極值都只是對于一個鄰域而言的

3、，任何時候不首先給出這個鄰域，討論極值點和極值都是沒有意義的。個鄰域，討論極值點和極值都是沒有意義的。從幾何直觀的角度來講，我們一般地可以通過圖形來表示這個概念，比方說如圖所示：我們說圖中函數在a的取值為極大值，同時還必須說明這個極大值具有存在意義的鄰域，而這個鄰域的大小顯然有時候是無法通過圖形表示的。那么我們是否還有更為方便的描述方法呢？根據定義來通過一一比較而得到極值，顯然是不可行的，我們希望存在更為直接的描述，可以應用來作為實際可

4、行的判據，這就需要導數的概念：函數在一點的某個鄰域里是以這點作為極值點的，那么函數在這點的導數如果存在，函數在一點的某個鄰域里是以這點作為極值點的，那么函數在這點的導數如果存在，則必定是等于則必定是等于0。這是極值點的一個特征，但是反過來，如果我們要判斷一點是否極值點，并不是完全這是極值點的一個特征，但是反過來，如果我們要判斷一點是否極值點，并不是完全依賴這個特征，因為這個定理反過來說并不是正確的，即導數等于依賴這個特征，因為這個定理反

5、過來說并不是正確的，即導數等于0的點，并不一定就是的點，并不一定就是極值點。極值點。這樣我們就必須對于導數為0的點給出專門的稱呼，使得我們在實際的尋找極值點的過程中，是首先找到導數為0的點，然后再在這種點中間分辨出極值點出來。我們稱導數為0的點為駐點或者說平穩(wěn)點。那么上面的定理就可以這么說：函數的極值點首先必須是函數的駐點。我們還可以進一步擴大這種包含極值點的范圍，比方說，我們定義導數為0和根本就嚴謹的證明可以有多種方法，例如可以通過應

6、用羅爾定理。同樣必須注意這里和上面的定理具有同樣的條件?？挛髦兄刀ɡ??？挛髦兄刀ɡ怼Ｈ绻莾蓚€函數在同一個閉區(qū)間上同時滿足上面的兩個條件，那么就有下面的定理：設函數設函數y=f（x）和）和y=g（x）同時滿足下面的條件：）同時滿足下面的條件：（1）在閉區(qū)間）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（）在開區(qū)間（a，b）上可導；）上可導；（3）兩個函數在開區(qū)間上不同時為）兩個函數在開區(qū)間上不同時為0；則在開區(qū)間（則在開區(qū)間（a，b

7、）上必定存在一點）上必定存在一點c，使得兩個函數在這點的導數滿足：，使得兩個函數在這點的導數滿足：)()()()()()(agbgafbfcgcf???顯然這個表達式還要求顯然這個表達式還要求0)()(??agbg。注意這個定理里的條件（3）。這個定理同樣可以應用羅爾定理，通過構造輔助函數來證明。而如果取g（x）=x，則這個定理就是拉格朗日中值定理。因此這個中值定理可以看成是這三個中值定理當中最一般的定理。羅必達法則。羅必達法則?？挛髦?/p>

8、值定理的一個極其重要的應用就是可以用來計算未定型的極限。仔細觀察柯西中值定理里的表達式的形式，可以看到兩個函數式的比值，在移動條件下可以化成者兩個函數的導數的比值，這樣就有可能使得作為未定型的分式的分子與分母所表示的函數，通過求導，而得到非未定型。這是一個基本的思路，我們有下面的定理：（1）兩個函數）兩個函數f（x）和）和g（x）在開區(qū)間（）在開區(qū)間（a，b）可微，并且在這個開區(qū)間上，）可微，并且在這個開區(qū)間上，g（x）的導數不等于）的

9、導數不等于0；（2）存在極限）存在極限Axgxfax???)()(lim0，其中其中A為一個有限的常數。為一個有限的常數。則在以下情況下：則在以下情況下：（3）0)(lim0???xfax和0)(lim0???xgax或者或者（3`）????)(lim0xgax那么就有那么就有???)()(lim0xgxfaxAxgxfax???)()(lim0。反過來在區(qū)間的另一個端點也存在相類似的結果。反過來在區(qū)間的另一個端點也存在相類似的結果。這