1、1微分中值定理及應(yīng)用微分中值定理及應(yīng)用綜述綜述謝娟09211045江蘇師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院徐州221116摘要：微分中值定理是一系列中值定理的總稱，是研究函數(shù)的有力工具，包括費(fèi)馬中值定理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理.以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是一整個(gè)微分學(xué)的重要理論。它不僅溝通了函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，而且也是微分學(xué)理論應(yīng)用的橋梁和基石.本文對(duì)微分中值定理中的一些條件給予了相關(guān)說明，介紹了

2、微分三大中值定理以及它們之間的關(guān)系，后又在此基礎(chǔ)上，綜述了微分中值定理在研究函數(shù)性質(zhì)，討論一些方程零點(diǎn)（根）的存在性，和對(duì)極限的求解問題，以及一些不等式的證明.關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：微分中值定理；關(guān)系；應(yīng)用引言引言微分中值定理是微分學(xué)的基本定理，是溝通函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間的橋梁，是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的局部性研究函數(shù)整體性的重要數(shù)學(xué)工具，應(yīng)用十分廣泛.1淺談微分中值定理1.1微分中值定理的基本內(nèi)容微分中值定理是反映導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值之間的聯(lián)系的定理它們分別是羅爾定

3、理、拉格朗日定理和柯西中值定理.具體內(nèi)容如下:1.1.1羅爾定理如果函數(shù)滿足:??yfx?(1)在閉區(qū)間上連續(xù)??ab(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)??ab(3)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等即那么在區(qū)間內(nèi)至少有一????fafb???ab點(diǎn)使函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零即???ab?????yfx???0f??幾何分析在（圖1）中可見曲線在上是一條連續(xù)光滑的曲線曲線在??yfx???ab??yfx?內(nèi)處處有切線且沒有垂直于軸的切線.在曲線的兩端點(diǎn)一般高(羅爾

4、定理的三條件在??abx平面幾何中成立)因而在內(nèi)曲線至少有一點(diǎn)處的切線平行于軸(羅爾定理??ab??yfx?x的結(jié)論成立).通過對(duì)羅爾定理的幾何分析抽象的羅爾定理得到了具體化(這也反()0fx?應(yīng)了數(shù)學(xué)的一般思想抽象思維具體化)。對(duì)于我們理解和掌握羅爾定理大有幫助.31.1.3柯西中值定理柯西中值定理如果函數(shù)及滿足:??fx??Fx(1)在閉區(qū)間上連續(xù)??ab(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)??ab(3)對(duì)任意，??xab???0Fx?那么在區(qū)間內(nèi)

5、至少有一點(diǎn)使等式??ab???ab???成立.????????????fbfafFbFaF?????2三個(gè)定理之間的關(guān)系三個(gè)定理之間的關(guān)系在拉格朗日定理中如果則變成羅爾定理在柯西中值定理中如果????fafb?則變成拉格朗日定理.因此拉格朗日定理是羅爾定理的推廣柯西中值定理是拉??Fxx?格朗日定理的推廣.反之拉格朗日定理是柯西中值定理的特例羅爾定理是拉格朗日定理的特例。3微分中值定理的應(yīng)用微分中值定理的應(yīng)用微分中值定理主要是利用函數(shù)導(dǎo)

6、數(shù)在區(qū)間上所具有的特征去研究函數(shù)本身在該區(qū)間上的性質(zhì)在研究函數(shù)的性質(zhì)上是一個(gè)非常有利且方便的工具.中值定理的應(yīng)用主要是以中值定理為基礎(chǔ)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、取極值、拐點(diǎn)等項(xiàng)的重要性質(zhì).從而把握函數(shù)圖象的各種幾何特征.3.1討論方程零點(diǎn)（根）的存在性問題討論方程零點(diǎn)（根）的存在性問題例、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)試證在內(nèi)，方程[10]1()fx??ab??ab??0a???ab至少存在一個(gè)根.????????222xfbfabafx????

7、???證明：令，顯然，在上連續(xù)，??????????222Fxfbfaxbafx??????????Fx??ab在內(nèi)可導(dǎo)，而且??ab????????22FafbabfaFb???根據(jù)羅爾定理，至少存在一個(gè)，使.?????????222fbfabaf?????????故在內(nèi)，方程至少存在一個(gè)根.??ab????????222xfbfabaf????????由[10]中的例1，我們可以知道，在我們要討論的方程中，除了二次方程根的問題容易討