1、二面角的求法二面角的求法一、一、定義法：定義法：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角這條直線叫做二面角的棱這兩個半平面叫做二面角的面，在棱上取點，分別在兩面內引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角。本定義為解題提供了添輔助線的一種規(guī)律。如例1中從二面角S—AM—B中半平面ABM上的一已知點（B）向棱AM作垂線，得垂足（F）；在另一半平面ASM內過該垂足（F）作棱AM的垂線（如GF），這兩條垂線（BF、

2、GF）便形成該二面角的一個平面角，再在該平面角內建立一個可解三角形，然后借助直角三角函數(shù)、正弦定理與余弦定理解題。例1如圖，四棱錐SABCD?中，底面ABCD為矩形，SD?底面ABCD，2AD?2DCSD??，點M在側棱SC上，ABM?=60（I）證明：M在側棱SC的中點（II）求二面角SAMB??的大小。證（I）略解（II）：利用二面角的定義。在等邊三角形ABM中過點B作BFAM?交AM于點F，則點F為AM的中點，過F點在平面ASM內

3、作GFAM?，GF交AS于G，連結AC，∵△ADC≌△ADS，∴ASAC，且M是SC的中點，∴AM⊥SC，GF⊥AM，∴GF∥AS，又∵F為AM的中點，∴GF是△AMS的中位線，點G是AS的中點。則GFB?即為所求二面角.∵，則，2?SM22?GF又∵，∴，∵，∴△是等邊三角形，∴6??ACSA2?AM2??ABAM060??ABMABM。在△中，，，，∴3?BFGAB26?AG2?AB090??GAB211423???BG366232

4、222113212cos222??????????????FBGFBGFBGFBFG∴二面角SAMB??的大小為)36arccos(?FGFG22122222OP????在Rt△OPF中22114322BPOPOB?????272cos7142OPOPBBP????所以二面角BFC1C的余弦值為77.練習2如圖，在四棱錐中，底面是矩形已知ABCDP?ABCD?6022223??????PABPDPAADAB（Ⅰ）證明平面；?ADPAB（

5、Ⅱ）求異面直線與所成的角的大?。籔CAD（Ⅲ）求二面角的大小ABDP??分析分析：本題是一道典型的利用三垂線定理求二面角問題，在證明AD⊥平面PAB后，容易發(fā)現(xiàn)平面PAB⊥平面ABCD，點P就是二面角PBDA的半平面上的一個點，于是可過點P作棱BD的垂線，再作平面ABCD的垂線，于是可形成三垂線定理中的斜線與射影內容，從而可得本解法。（答案：二面角的ABDP??大小為）439arctan三補棱法三補棱法本法是針對在解構成二面角的兩個半平

6、面沒有明確交線的求二面角題目時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱為補棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題。即當二平面沒有明確的交線時，一般用補棱法解決例3如圖所示，四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.分析：本題的平面PAD和平面PBE沒有明確的交線，依本法顯