1、偏微分方程在科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用,許多實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型都可以用偏微分方程來描述,但很多偏微分方程無法求出解析解,只能用各種方法求出其數(shù)值解。格子Boltzmann方法是上世紀(jì)八十年代末提出的一種新興的計(jì)算流體力學(xué)方法,近年來被許多學(xué)者用來求解各類偏微分方程。通過選擇合適的格子速度模型和平衡態(tài)分布函數(shù),格子Boltzmann模型可以恢復(fù)到相應(yīng)的宏觀方程。格子Boltzmann方法是把連續(xù)與離散相結(jié)合、借助微觀模型來模擬宏觀輸運(yùn)

2、現(xiàn)象的跨尺度模擬方法,己在眾多領(lǐng)域獲得成功應(yīng)用。
　　本文首先對(duì)格子Boltzmann方法的發(fā)展歷程及其在偏微分方程數(shù)值解和粉體成形領(lǐng)域的應(yīng)用進(jìn)行綜述;介紹了格子Boltzinann方法的基本原理和基本模型,并詳細(xì)闡述了怎樣從牛頓運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)推導(dǎo)出格子Boltzmann方程。
　　其次,通過對(duì)添加項(xiàng)直接取二階多尺度展開,避免了演化方程中添加項(xiàng)的一些復(fù)雜的偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng),將格子Boltzmann方法用于非線性熱傳導(dǎo)型方程和Klein

3、-Gordon方程的求解:分別對(duì)Fisher方程、Newell-Whitehead方程、FitzHugh-Nagumo方程、二次和三次非線性的Klein-Gordon方程進(jìn)行了數(shù)值求解;數(shù)值結(jié)果表明格子Bol-tzmnn方法能夠有效求解上述方程且能夠保證二階精度,在求解三次非線性Klein-Gordon方程時(shí),在大振幅周期邊界下其計(jì)算結(jié)果比已有文獻(xiàn)中的一些數(shù)值結(jié)果還更好。
　　再次,在周期邊界條件下,針對(duì)一維Goldstein-T

4、aylor模型的有限差分格子Bol-tzmann格式給出了其在L2范數(shù)意義下的穩(wěn)定性證明;根據(jù)宏觀量的定義,將一維Burgers方程的D1Q2速度模型的格子Boltzlnann方法的演化方程改寫成一個(gè)三層的差分格式,分析了相應(yīng)格式的穩(wěn)定性的條件;將該三層差分格式用于Burgers方程的數(shù)值求解,并與D1Q2,D1Q3模型及傅里葉級(jí)數(shù)解進(jìn)行了比較;數(shù)值結(jié)果表明該差分格式的解與D1Q2,D1Q3模型的計(jì)算結(jié)果基本一致,其全局相對(duì)誤差甚至還較

5、小,當(dāng)黏性系數(shù)很小時(shí),傅里葉級(jí)數(shù)解由于激波的出現(xiàn)而無法收斂,而該三層差分格式還可以很好地求解。
　　最后,根據(jù)高速壓制成形過程的工藝特點(diǎn)和相關(guān)文獻(xiàn)結(jié)果,首次將多速度可壓縮格子Boltzmann方法運(yùn)用于高速壓制成形過程的數(shù)值模擬;采用反彈與反射相結(jié)合的混合邊界格式來模擬成形過程中的潤(rùn)滑與摩擦作用,并根據(jù)高速壓制成形中粉末密度變化情況,將原來常數(shù)的松弛時(shí)間變成與粉末初始密度和壓制最大理想密度的有關(guān)的松弛時(shí)間函數(shù),建立了高速壓制成形過