1、偏微分方程的高精度緊致差分格式已經(jīng)越來越受到人們的重視、也是近年來重要的研究方向.本文提出了一種新的離散能量分析技巧-離散H2能量方法.在不增加光滑性要求的前提下,該方法可以給出差分格式數(shù)值解誤差的離散H2模估計.借助于離散Sobolev嵌入不等式得到最大模誤差估計,從而給出數(shù)值解在最大模意義下的漸進展開式.我們利用離散H2能量方法,塒薛定諤方程、二階雙曲方程、色散方程和拋物方程初邊值問題的高階差分格式進行了較為系統(tǒng)地研究.也將該方法用

2、于分析一類并行求解拋物問題的校正型顯隱區(qū)域分裂算法.
　　 離散H2能量方法是一種旨在獲得數(shù)值解H2模誤差的分析技巧.它以解函數(shù)的時間導(dǎo)數(shù)作為獨立變量將初邊值問題轉(zhuǎn)化為一個混合方程組.并以此為出發(fā)點來構(gòu)建差分離散格式,分析數(shù)值計算格式的穩(wěn)定性和收斂性.通常,當混合方程組離散化之后.所引進的輔助變量可以從離散系統(tǒng)中消去而形成關(guān)于原問題的差分計算格式.引入新變量和混合方程組的主要目的在于對差分計算格式進行理論分析.
　　 首

3、先對在量子力學(xué)、光學(xué)、地震學(xué)和等離子物理學(xué)中出現(xiàn)的線性和非線性薛定諤方程建立了高階緊斂格式.我們證明,二維和三維線性方程的四階緊致差分格式在最大模意義下無條件穩(wěn)定并收斂；而在一維情形下,離散H2能量法給出了數(shù)值解及其一階差商的最大模誤差估計.利用數(shù)值解關(guān)于網(wǎng)格離散參數(shù)(時間、空間步長)的漸進展開式.可以通過外推計算獲得更高精度的逼近解.我們還構(gòu)建了具有空間四階精度的緊交替方向隱格式.并利用H2能量法證明了數(shù)值解的無條件穩(wěn)定性,得到了差分

4、解在最大模意義下的漸進展開式.由此利用外推方法得到了高精度的數(shù)值解.接著考慮了一類具有一股形式的廣義非線性薛定諤方程的高精度逼近.應(yīng)用兩種不同的線性化策略.建立了兩個三層線性化四階緊格式并給出了收斂性分析.在呼吸波、孤立波和平面波的數(shù)值模擬中,線性化緊格式不僅改善Crank-Nicolson型格式的振幅誤差,也改善相位誤差；數(shù)值試驗表明,時滯線性化方法比局部外推方法要好,因為不管在二階格式還是在緊格式中,后者在長時間積分中更易于引發(fā)不規(guī)

5、則振蕩.
　　 對于二階雙曲方程、色散方程和拋物方程.離散H2能量方法可以簡化為一種時間方向分部求和技巧,并在通常離散能量方法的框架下實現(xiàn),只是要適當增加連續(xù)解關(guān)于時間變量的光滑性.近年來,直接由二階形式來構(gòu)建波動方程的高精度格式逐漸得到人們的重視.在使用時間四階格式計算第一層數(shù)值解的條件下,我們證明求解二維波動方程的三層顯式格式和三層交替方向隱格式的解在最大模意義下二階收斂.由于需要應(yīng)用顯式方法獲取第一層的數(shù)值解,這些三層格式

6、之數(shù)值解的漸進展開式中往往包含網(wǎng)格參數(shù)的奇數(shù)次冪項.從而需要利用三組網(wǎng)格的數(shù)值解作外推才可使得解精度提高兩階.為方便對初始條件的離散和應(yīng)用變時間步長方法,并使得漸進展式中只含有網(wǎng)格參數(shù)的偶數(shù)次項,構(gòu)建了一類兩層緊交替方向隱格式,給出了誤差的最大模估計.我們還對分析了線性色散方程的一個具有五個守恒律、無條件穩(wěn)定的四階緊差分格式,給出了離散解及其一階差商的最大模誤差估計.數(shù)值試驗表明,該格式可明顯改善Crank-Nicolson格式的相位誤

7、差.對于拋物問題,討論了二維線性方程的交替方向和緊交替方向隱格式.利用離散H2能量法得到了離散解的最大模誤差估計和漸進展開式.
　　 顯隱區(qū)域分裂算法是一類結(jié)構(gòu)簡潔、通信效率高、可直接利用串行程序的可擴展并行算法.由于在人工內(nèi)邊界處使用顯式格式,該算法通常是條件穩(wěn)定的,不能使用大步長進行時間積分.通過在每個時間層上追加一個內(nèi)邊界隱式校正步而形成的校正型顯隱區(qū)域分裂算法是一類無條件穩(wěn)定的分布式并行算法.為增強區(qū)域分解的靈活性,提高

8、算法的可擴展性,我們特別設(shè)計了一類鋸齒形內(nèi)邊界來進行區(qū)域分解.
　　 在實際應(yīng)用中,通常需要利用更為簡潔的直線內(nèi)邊界將計算區(qū)域分解成帶狀或塊狀子區(qū)域.然而,由于內(nèi)邊界上追加了全隱校正格式,基于內(nèi)部交叉的直線內(nèi)邊界所形成的區(qū)域分解算法往往要求全局數(shù)據(jù)通信.為避免全局通信問題,又進一步設(shè)計了一類由直線段和鋸齒接口組合而成的組合內(nèi)邊界來進行區(qū)域分解.通過應(yīng)用時間分部求和技巧,我們證明上述三種內(nèi)邊界形狀下的校正型顯隱區(qū)域分裂算法均唯一可